Recensione di Ivo Silvestro – 30/3/2009
Logica, Kurt Gödel
Kurt Gödel è senza dubbio uno dei pensatori più conosciuti del Novecento: il suo nome, e soprattutto i suoi teoremi di incompletezza, vengono citati, non sempre a proposito, in ambiti anche molto lontani dal ristretto contesto nel quale si sono sviluppati: la logica matematica della prima metà del ventesimo secolo. Non stupisce trovare un riferimento a Gödel in testi sulla meccanica quantistica, l'esegesi biblica o l'intelligenza artificiale: l'eccezione, oramai, è trovare testi su Gödel che si limitino a esporre il suo lavoro senza abbandonarsi in speculazioni quasi sempre di dubbio valore, pur con delle notevoli eccezioni. Uno dei pregi di questo saggio di Duccio Pianigiani è proprio quello di rimanere il più possibile aderente alla riflessione del logico boemo.
Un altro punto di forza del libro è la scelta di non nascondere le difficoltà della logica: teoremi e dimostrazioni non vengono occultati, ma occupano il ruolo principale. Il risultato è un testo impegnativo ma non ostico: il lettore che non si lascia spaventare dalle espressioni logiche trova comunque utili aiuti alla loro comprensione. L'attenzione di Pianigiani per un'esposizione dettagliata ma comunque chiara si coglie da numerosi particolari, come le pagine dedicate alle varie accezioni del termine "completezza" in logica (p. 21 e sgg.) o la chiara spiegazione del meccanismo della diagonalizzazione (pp. 61-62).
Il libro è una guida quasi nel senso turistico del termine, innanzitutto perché, proprio come una guida, può essere usato come testo di riferimento per visitare il luogo descritto o, fuor di metafora, come ausilio alla comprensione di altri saggi oppure per valutare l'attendibilità dei lavori speculativi sopra descritti. I primi due capitoli si occupano il contesto nel quale si situa il lavoro di Gödel: il programma di David Hilbert, il cui metodo assiomatico viene illustrato da Pianigiani tramite un interessante confronto tra Hilbert e Gottlob Frege, la tesi di Church-Turing sulla computabilità e le funzioni ricorsive. Il terzo capitolo è dedicato al primo teorema di incompletezza di Gödel, mentre quello successivo si occupa del secondo teorema. Il quinto capitolo, molto interessante anche se molto tecnico, espone alcuni risultati logico-matematici successivi. Infine, nel sesto capitolo, si affrontano gli aspetti filosofici della riflessione di Gödel. A concludere il libro alcune appendici su quelli che, per riprendere la metafora della guida turistica, sono gli usi e costumi del luogo, nello specifico il paradiso di Cantor, il paradosso di Russell e la logica del prim'ordine.
Pianigiani dedica molto spazio agli aspetti filosofici dei lavori di Gödel (il libro si indirizza esplicitamente ai filosofi, anche se c'è da temere che le dimostrazioni ne spaventeranno la maggior parte).
Di particolare interesse il legame tra il realismo ontologico di Gödel e la dimostrazione della completezza semantica della logica del primo ordine. Questa dimostrazione era già implicita negli scritti del matematico norvegese Thoralf Skolem, ma la sua impostazione finitista gli impedì di trarre la conclusione cui arrivò Gödel nel 1929, ossia la coincidenza della conseguenza logica sintattica con quella semantica (p 23).
Un altro aspetto molto interessante riguarda la genesi del primo teorema di incompletezza. Già prima del 1931 Gödel aveva in mente una prova indiretta e non costruttiva dell'esistenza di un enunciato vero ma indimostrabile, aprendo così la strada alla visione dell'inesauribilità della matematica; tuttavia decise di non divulgare questa prova in quanto la nozione semantica di verità, qui utilizzata, sarebbe stata accolta con diffidenza dai matematici dell'epoca (p. 63 e sgg.). Gödel, quindi, svilupperà e presenterà alla comunità scientifica una dimostrazione costruttiva nella quale la nozione di correttezza viene sostituita con quella, puramente sintattica, di ω-consistenza (p. 86).
Nel sesto capitolo, dedicato alla riflessione filosofica di Gödel, questo realismo ontologico viene approfondito. Gödel fu un convinto realista (Bertrand Russell lo definì un "unadultered platonist", p. 175): gli enti astratti, come quelli matematici, esistono indipendentemente dai pensieri umani. La matematica non può dunque essere ridotta a un semplice sistema formale: non si ha qui a che fare con una libera creazione della mente, ma con concetti che esistono realmente e che, in una qualche maniera, vengono percepiti. Legata al tema del realismo ontologico vi è l'importanza che Gödel attribuisce all'intuizione: si tratta di uno degli argomenti centrali del suo pensiero, sul quale ritornerà spesso (Pianigiani parla in proposito di "nozione cangiante nell'evolversi del pensiero gödeliano", p. 179). La riflessione ontologica spinge Gödel, a partire alla fine degli anni cinquanta, ad approfondire il metodo fenomenologico di Edmund Husserl, con particolare riferimento alle Ricerche Logiche, soprattutto la sesta e l'ultima. Nella fenomenologia, e in particolar modo nel concetto di intuizione categoriale, Gödel intravede la possibilità di un superamento delle difficoltà di realismo e idealismo, per riuscire a "rendere conto del fatto che da un lato concetti e oggetti matematici sono costituiti, e dall'altro che sono indipendenti, che non sono inconoscibili e che sono 'oggettivi', sebbene non necessariamente in senso realista naïve" (p. 186).
La natura della mente è un problema filosofico al quale Gödel ha dedicato molta attenzione. È possibile assimilare la mente umana a una macchina di Turing con i limiti che ne conseguono in virtù dei due teoremi di incompletezza? La posizione di Gödel è apprezzabile per la cautela: pur essendo convinto della natura in qualche maniera spirituale e non meccanica della mente, il logico boemo non si sente di escludere una equivalenza tra questa e una macchina. Partendo dalla distinzione tra matematica soggettiva, ossia umanamente dimostrabile, e oggettiva, vera in senso assoluto, Gödel afferma che se esse coincidono allora non vi può essere una perfetta identità tra mente umana e macchine di Turing: "o la mente umana supera infinitamente la potenza di una macchina finita, oppure esistono problemi diofantei assolutamente indecibili" (p. 169).
In conclusione, la Guida ai risultati di incompletezza di Kurt Gödel di Duccio Pianigiani è una lettura caldamente consigliata sia a chi vuole approfondire il lavoro del logico boemo sia a chi ha bisogno di un testo di riferimento per i vari aspetti del suo pensiero.
Indice
Indice:
1. Chiarire la natura dell'infinito
Idee fondamentali della nuova assiomatica – Le proprietà metateoriche dei sistemi assiomatici – Matematica e metamatematica: il programma di Hilbert
2. Incompletezza e incomputabilità
La tesi di Church-Turing – Insiemi ricorsivi e insiemi ricorsivamente enuerabili – Diagonalizzazione e incomputabilità
3. Inesauribilità della verità: il primo teorema
Dimostrabilità vs. verità: il fenomeno dell'incompletezza – Aritmetica formale e definibilità delle funzioni – La prova costruttiva: il primo teorema nei dettagli
4. Indimostrabilità della consistenza: il secondo teorema
La formalizzazione della consistenza – Progressioni ed inesauribilità della matematica – Prove di consistenza
5. Alcuni sviluppi successivi
Enunciati matematici indecidibili: Ercole e l'Idra – Dimostrabilità e interpretabilità relativa: i teoremi di Solvay – Chaitin: caso, incompletezza e informazione
6. Aspetti filosofici della riflessione di Gödel
Problemi assolutamente indecidibili e la natura della mente – Lo sviluppo della concezione filosofica di Kurt Gödel – Il "programma di Gödel"
7. Appendici: strumenti basilari di logica
Appendice A: breve sguardo al "paradiso di Cantor" – Appendice B: il paradosso di Russell – Appendice C: logica del prim'ordine e non solo
L'autore
Duccio Pianigiani si è laureato in filosofia della scienza a Siena; ha successivamente conseguito il diploma di specializzazione presso la scuola di logica matematica del dipartimento di matematica dell'università di Siena (poi dottorato LOMIT) e infine il dottorato di ricerca presso il dipartimento di filosofia dell'università di Firenze. Attualmente lavora come ricercatore e docente di logica presso il dipartimento di filosofia dell'università di Siena.
Links
Duccio Prof. Blog!
Il blog didattico dell'autore, nel quale è possibile trovare un elenco aggiornato delle correzioni ai refusi presenti nel testo.
Nessun commento:
Posta un commento